二等辺三角形の定理の証明とその利用

数学が苦手な中学生のための
反撃の数学
中学２年数学：三角形と四角形（図形の性質）

【１５７】二等辺三角形の定理の証明とその利用

二等辺三角形の定理の証明

前のページで二等辺三角形というものを定義した結果、その二等辺三角形には「底角が等しく、頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する」という２つの定理があることが発見されたということを紹介しました。

そこでこのページでは「その２つの定理って本当にそうなるの～？」という疑問にお答えするために、その証明を紹介していきます。

「頂角の二等分線は」とあることから、実際に二等辺三角形の頂角の二等分線を引いてみると、左側と右側に２つの三角形が出現します。

そしてこの二つが合同であることの証明を目指します。

まず頂角を二等分したわけですから、その分けられた二つの角は等しいです。①

次にその二等分線は共通している辺なので、長さが等しくなります。②

最後に二等辺三角形の定義から２つの辺が等しいことがわかります。③

①②③から二辺とその間の角が等しいので、左右二つの三角形は合同であることが証明できました。

そしてこれにより、まず底角が等しいことが同時に証明されています。
次に底辺を二等分していることも証明されています。
最後に180°を２つにわけている角は同じ角度の角となるので、90°であることも証明できます。

こういった理由から二等辺三角形の定理は「間違いなくそうだね！」と言えるわけです。

そしてこの定理を利用されているのが、一年のところでやった「作図」の問題なんです。

作図は作図の仕方を暗記するのではなくて、作図の理屈を押さえるのが数学的に美しい考え方となるのではないでしょうか。

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